Elektrotechnik – 3. Gleichstrom III

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

Elektrotechnik – Straub

3. Gleichstrom

  1. Stromstärke und Stromdichte
  2. Stromleitung in Metallen
  3. Ohm’sches Gesetz und Widerstand
  4. Temperaturabhängigkeit des Widerstands
  5. Die Kirchhoff’schen Gesetze
  6. Reihen- und Parallelschaltung, Teilerregeln
  7. Zweipoltheorie
  8. Arbeit und Leistung
  9. Reale Messungen im Gleichstromkreis
Elektrotechnik – Straub

Ersatzquelle eines beliebigen Netzwerks bestimmen 🔑

Jetzt lösen wir das Versprechen aus der letzten Woche ein: Jedes lineare Netzwerk mit Quellen lässt sich an zwei Klemmen a–b als Ersatzspannungsquelle (, ) oder Ersatzstromquelle (, ) darstellen. Rezept:

  1. Leerlaufspannung : Spannung an den offenen Klemmen berechnen
  2. Innenwiderstand : Quellen deaktivieren (U-Quelle → Kurzschluss, I-Quelle → Unterbrechung), dann Widerstand von den Klemmen aus berechnen
  3. Kontrolle oder Alternative zu 2.: Kurzschlussstrom berechnen, dann

Das ist die zentrale Technik für Netzwerkaufgaben.

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🗳️ Innenwiderstand mit Stromquelle

Wie groß ist der Innenwiderstand der Schaltung an den Klemmen a–b?

A)

B)

C)

D)

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Beispiel: Ersatzquelle des belasteten Spannungsteilers

Unser Spannungsteiler aus Aufgabe 7b (, ), Klemmen über :

  1. Leerlauf:
  2. Quelle kurzschließen:
  3. Last anschließen:

Gleiche Antwort wie in Aufgabe 7b – jetzt in zwei Zeilen statt Netzwerk-Umformung.

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📝 Aufgabe 8: Ersatzquelle

Eine Spannungsquelle speist einen Spannungsteiler aus und ; an den Klemmen über wird abgenommen. Im Leerlauf ist , bei ist . Schaltung zeichnen!

a) Bestimmen Sie , und den Kurzschlussstrom der Ersatzquelle.

b) Wie groß müssen und sein?

c) Wie groß muss ein Lastwiderstand sein, damit er die größtmögliche Leistung aufnimmt, und wie groß ist diese? (Vorgriff auf später heute – Vermutung reicht!)

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Reihenschaltung von aktiven, linearen Zweipolen

Bei der Reihenschaltung von realen Spannungsquellen addieren sich Leerlaufspannungen und Innenwiderstände:

Begründung: Maschenregel – durch alle fließt derselbe Strom, die Spannungen addieren sich.

Anwendung: Batteriepacks (Taschenlampe, E-Auto)
Vorteil: höhere Gesamtspannung • Nachteil: höherer Innenwiderstand

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Parallelschaltung von aktiven, linearen Zweipolen

Bei der Parallelschaltung von realen Spannungsquellen mit gleicher Leerlaufspannung addieren sich die Leitwerte der Innenwiderstände:

Begründung: Beide in Stromquellen umwandeln. Parallel addieren sich die Ströme und die Leitwerte.

Anwendung: höhere Ströme, Redundanz
Nachteil: nur bei gleichen Spannungen sinnvoll (sonst Ausgleichsströme!)

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Elektrische Arbeit (Energie)

Aus (2.2) und (bei konstantem Strom) folgt:

Einheit: (Joule)

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Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit:

Einheit: (Watt)

Die drei Schreibweisen sind über das Ohm’sche Gesetz äquivalent – nehmen Sie die, deren Größen Sie kennen.

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🗳️ Zwei Glühlampen in Reihe

Eine 60-W- und eine 100-W-Glühlampe (beide für 230 V) werden in Reihe an 230 V angeschlossen.

Welche leuchtet heller?

A) die 100-W-Lampe

B) die 60-W-Lampe

C) beide gleich hell

D) keine – die Spannung reicht für beide nicht

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Leistungsanpassung

Bei welchem Verbraucherwiderstand liefert eine reale Quelle (, ) die maximale Leistung an den Verbraucher?

  • Leerlauf (): ; Kurzschluss ():
  • Maximum dazwischen: (Herleitung → Tafel)

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Anpassungsverhältnis und Wirkungsgrad

Anpassungsverhältnis:

Wirkungsgrad = Verbraucherleistung / Gesamtleistung der Quelle, mit (Leistung der idealen Quelle ):

⚠️ Bei Leistungsanpassung () ist – die Hälfte der Energie heizt die Quelle!

  • Nachrichtentechnik: Anpassung (maximales Signal zählt)
  • Energietechnik: Überanpassung (Wirkungsgrad zählt)
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Betriebszustände einer aktiven Quelle

Last Leistung Quelle Leistung Last Wirkungsgrad
Kurzschluss
Unteranpassung
Anpassung
Überanpassung
Leerlauf
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U-I-Kennlinie und Arbeitspunkt

Quelle und Verbraucher in einem Diagramm:

  • Quelle: fallende Gerade
  • Verbraucher: steigende Gerade
  • Schnittpunkt = Arbeitspunkt: dort stellen sich und tatsächlich ein

Grafische Lösung: beide Kennlinien zeichnen, Schnittpunkt ablesen. Aus Aufgabe 7c kennen Sie den Arbeitspunkt schon.

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📝 Aufgabe 9: Autobatterie

An den Klemmen einer Autobatterie wird bei wechselnder Last gemessen:

/V 11,8 11,6 11 10 8
/A 10 20 50 100 200

a) Bestimmen Sie die Leerlaufspannung und den Innenwiderstand .

b) Die Batterie wird mit belastet. Wie hoch ist der Wirkungsgrad ?

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📝 Klausuraufgabe: Gleichstromnetzwerk

Die Schaltung liefert an den Klemmen 1–2 die Spannung :

a) Wie viele unabhängige Knotenpunktgleichungen gibt es? Stellen Sie sie auf.
b) Leerlauf (): Geben Sie und in Abhängigkeit der Stromquellen an.
c) Bestimmen Sie das Spannungsquellen-Ersatzschaltbild links der Klemmen 1–2 (, allgemein).
d) Die Schaltung soll und liefern. Wie groß muss sein?

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Reale Messungen: Spannung

Jedes reale Voltmeter hat einen endlichen Innenwiderstand und belastet die Schaltung:

  • Digitalmultimeter (DMM): typisch
  • Das Voltmeter liegt parallel zum Messobjekt → wirkt wie ein Lastwiderstand → Lastfehler, wenn nicht Quellwiderstand
  • In Klausuraufgaben: „ideales Voltmeter“ = , zieht keinen Strom

Faustregel: Spannungsmessung ist unkritisch, solange

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🗳️ Was zeigt das Multimeter?

Ein Spannungsteiler aus zwei Widerständen von je liegt an . Ein Multimeter () misst die Spannung über dem unteren Widerstand.

Was zeigt es an?

A)

B)

C)

D)

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Reale Messungen: Strom mit dem Shunt

Wie misst man große Ströme (z.B. 100 A im Bordnetz)? Über einen Shunt:

  • Kleiner, präziser Widerstand (z.B. ) im Strompfad
  • Gemessen wird die Spannung über dem Shunt:
  • Bei 100 A: – gut messbar, Verlustleistung nur 10 W

Heute überall: Batteriemanagement, Motorsteuerungen, jedes DMM im Amperebereich hat intern einen Shunt.

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Reale Messungen: Vierleitermessung

Problem: Bei kleinen Widerständen (z.B. Pt100 mit ) verfälscht der Leitungswiderstand der Zuleitungen die Messung.

Lösung – Vierleitermessung:

  • Zwei Leitungen führen den (bekannten) Messstrom
  • Zwei separate Leitungen messen die Spannung direkt am Sensor – durch sie fließt (ideales Voltmeter!) kein Strom → kein Spannungsabfall → Leitungswiderstand fällt heraus

Alltagstechnik: jedes Labornetzteil mit „Sense“-Klemmen arbeitet so.

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📝 Aufgabe 10: Temperaturmessung

Ein Pt100 ( bei , – hier vereinfacht gerundet) wird von einer idealen Stromquelle mit gespeist. Über eine Vierleitermessung wird direkt am Sensor gemessen.

a) Wie groß ist der Sensorwiderstand ?

b) Welche Temperatur hat der Sensor?

c) Welche Leistung nimmt der Sensor auf? Warum sollte sie klein bleiben?

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Unsere Basiseinheiten-Tabelle wächst

Elektrische Größe Formelzeichen Einheit Basiseinheiten
Ladung C
Spannung V
Kapazität F
Widerstand Ω ❓
Leistung W ❓

Leiten Sie die Basiseinheiten von Widerstand und Leistung her.

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Zusammenfassung: Gleichstrom

  • ; Ohm: ; ; linear mit
  • Kirchhoff: Knoten- und Maschenregel; unabhängige Knotengleichungen
  • Reihe: R addieren, Spannungsteiler; parallel: G addieren, Stromteiler – Topologie zählt, nicht die Zeichnung!
  • Zweipoltheorie: jedes lineare Netzwerk = + ; Quellen deaktivieren für
  • Leistungsanpassung: bei , dann
  • Arbeitspunkt = Schnittpunkt von Quellen- und Lastkennlinie
  • Messen: Lastfehler, Shunt, Vierleitermessung

Nächstes Kapitel: Magnetismus – das zweite große Feld der Elektrotechnik 🧲

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